Seien ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}I,J}$ Ideale in ${\displaystyle {}R}$. Sei weiter

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow R/I\times R/J,\,r\longmapsto (r+I,r+J).}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann surjektiv ist, wenn ${\displaystyle {}I+J=R}$ gilt. Wie sieht ${\displaystyle {}\ker \varphi }$ aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} }$ mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.