Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit Elementen ${\displaystyle {}x,y,z,w\in R}$, wobei ${\displaystyle {}z}$ und ${\displaystyle {}w}$ Einheiten seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${\displaystyle {}{\frac {x}{1}}=x\,,}$

2. ${\displaystyle {}{\frac {1}{x}}=x^{-1}\,,}$

3. ${\displaystyle {}{\frac {1}{-1}}=-1\,,}$

4. ${\displaystyle {}{\frac {0}{z}}=0\,,}$

5. ${\displaystyle {}{\frac {z}{z}}=1\,,}$

6. ${\displaystyle {}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,}$

7. ${\displaystyle {}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,}$

8. ${\displaystyle {}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.}$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

${\displaystyle {}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?}$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${\displaystyle {}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,}$