Wir verwenden die Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$, deren Galoisgruppe gleich ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$ ist.

1. Der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{5}}$ besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(4)}$.
2. Der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{8}}$ besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }=\{1,3,5,7\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$.
3. Der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{20}}$ besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(20)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }={\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }\times {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)}$.
4. Der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{17}}$ besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(17)\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(16)}$. Es sei ${\displaystyle {}H}$ der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(16)\longrightarrow \mathbb {Z} /(8).}$

   Dann ist ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \operatorname {Fix} \,(H)}$ nach Fakt eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(8)}$ als Galoisgruppe.