Wir setzen ${\displaystyle {}v=C-A}$ und ${\displaystyle {}w=B-C}$. Der Verbindungsvektor von ${\displaystyle {}A}$ nach ${\displaystyle {}B}$ ist dann gleich ${\displaystyle {}v+w}$. Wir setzen den Höhenfußpunkt als

${\displaystyle {}D=A+\lambda (v+w)\,}$

mit einem ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {R} }$ und den Richtungsvektor der Höhe als

${\displaystyle {}h=C-D=A+v-A-\lambda (v+w)=v-\lambda (v+w)\,}$

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=\left\langle v-\lambda (v+w),v+w\right\rangle \\&={\left(1-\lambda \right)}\left\langle v,v\right\rangle -\lambda \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}}$

und somit ist

${\displaystyle {}\lambda ={\frac {\left\langle v,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle }}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(A,D)\cdot d(A,B)&=\lambda \Vert {v+w}\Vert \cdot \Vert {v+w}\Vert \\&=\lambda \left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\lambda {\left(\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \right)}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}\\&=d(A,C)^{2}.\end{aligned}}}$