Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}a,b\neq 0}$ Elemente aus ${\displaystyle {}K}$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Z} }$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${\displaystyle {}u^{k}}$ gleich ${\displaystyle {}{\left(u^{-1}\right)}^{k}}$ ist, verwenden.

1. ${\displaystyle {}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.}$

2. ${\displaystyle {}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.}$

3. ${\displaystyle {}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.}$