Wir gehen rekursiv vor, da jede Potenz sich durch Multiplikation einer zuvor erhaltenen Potenz ergibt. Wenn dabei die Faktoren gleiche Potenzen verwenden, müssen diese nicht doppelt gezählt werden, da man ja die Ergebnisse von Zwischenmultiplikationen wiederverwenden kann.

Mit einer Multiplikation kann man offenbar nur ${\displaystyle {}a^{2}=a\cdot a}$ erhalten.

Mit zwei Multiplikationen kann man

${\displaystyle {}a^{3}=a\cdot a^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}a^{4}=(a^{2})\cdot (a^{2})\,}$

erhalten und sonst keine Potenz, da ja alle möglichen Multiplikationen notiert wurden.

Mit drei Multiplikationen kann man

${\displaystyle {}a^{5}=(a^{4})\cdot a\,,}$

${\displaystyle {}a^{6}=(a^{4})\cdot (a^{2})\,,}$

${\displaystyle {}a^{8}=(a^{4})\cdot (a^{4})\,}$

erhalten. ${\displaystyle {}a^{7}}$ kann man nicht mit drei Multiplikationen erreichen, da in (dem einzigen ernsthaften Kandidat) ${\displaystyle {}(a^{3})\cdot (a^{4})}$ schon vier Multiplikationen drin sind.

Mit vier Multiplikationen kann man

${\displaystyle {}a^{7}=(a^{6})\cdot a\,,}$

${\displaystyle {}a^{9}=(a^{8})\cdot a\,,}$

${\displaystyle {}a^{10}=(a^{8})\cdot (a^{2})\,,}$

${\displaystyle {}a^{12}=(a^{8})\cdot (a^{4})\,}$

und

${\displaystyle {}a^{16}=(a^{8})\cdot (a^{8})\,}$

erhalten. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Wenn nämlich ${\displaystyle {}a^{8}}$ nicht als Faktor vorkommt, so gibt es von den noch nicht abgedeckten Potenzen nur ${\displaystyle {}(a^{5})\cdot (a^{6})}$, doch dieser Aufbau braucht fünf Multiplikationen.