Die nilpotente ${\displaystyle {}n\times n}$-Jordanmatrix hat die Gestalt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}.}$

Die zugehörige lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist also durch

${\displaystyle e_{1}\mapsto 0,\,e_{2}\mapsto e_{1},\,e_{3}\mapsto e_{2},\ldots ,e_{n-1}\mapsto e_{n-2}\,,e_{n}\mapsto e_{n-1}}$

gegeben. Die ${\displaystyle {}i}$-te Iteration ${\displaystyle {}\varphi ^{i}}$ davon bildet somit ${\displaystyle {}e_{k}}$ auf

${\displaystyle e_{k-i},{\text{ falls }}k>i{\text{ und }}0,{\text{ falls }}k\leq i}$

ab. Daher gehören die ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{i}}$ zum Kern von ${\displaystyle {}\varphi ^{i}}$. Die Basisvektoren ${\displaystyle {}e_{i+1},\ldots ,e_{n}}$ werden hingegen unter ${\displaystyle {}\varphi ^{i}}$ auf die linear unabhängigen Vektoren ${\displaystyle {}e_{1},\ldots ,e_{n-i}}$ abgebildet. Daher ist der Rang gleich ${\displaystyle {}n-i}$ und es ist

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi ^{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle \,}$

mit der Dimension ${\displaystyle {}i}$. Die Kerne ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi ^{i}}$ bilden also eine aufsteigende Kette von Untervektorräumen, wobei die Dimensionen um ${\displaystyle {}1}$ wachsen. Es liegt also eine Fahne vor.