a) Wir können das Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl ${\displaystyle {}5}$ anwenden. Die ${\displaystyle {}5}$ teilt alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$ außer dem Leitkoeffizienten, und ${\displaystyle {}5^{2}}$ teilt nicht den konstanten Term. Also ist ${\displaystyle {}P}$ irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$.

b) Das Polynom hat ungeraden Grad, daher besitzt es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine reelle Nullstelle und ist daher nicht irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$.

c) Über ${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(2)}$ wird das Polynom zu ${\displaystyle {}X^{7129}+X^{103}+X+1}$, das die Nullstelle ${\displaystyle {}1}$ besitzt. Also ist ${\displaystyle {}P}$ nicht irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)[X]}$.

d) Zunächst ist ${\displaystyle {}K}$ ein Körper aufgrund von Teil (a). Es sei ${\displaystyle {}t}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}T}$. In ${\displaystyle {}K}$ ist nach Konstruktion ${\displaystyle {}P(t)=0}$, also ist ${\displaystyle {}t}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}P}$ ist nicht irreduzibel in ${\displaystyle {}K[X]}$.