Sei angenommen, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)}$ kein Primideal ist. Bei ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist ${\displaystyle {}V=\emptyset }$, also ist ${\displaystyle {}V}$ nicht irreduzibel nach Definition. Andernfalls gibt es Polynome ${\displaystyle {}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}FG\in \operatorname {Id} \,(V)}$, aber ${\displaystyle {}F,G\not \in \operatorname {Id} \,(V)}$. Dies bedeutet, dass es Punkte ${\displaystyle {}P,Q\in V}$ gibt mit ${\displaystyle {}F(P)\neq 0}$ und ${\displaystyle {}G(Q)\neq 0}$. Wir betrachten die beiden Ideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{1}=\operatorname {Id} \,(V)+(F)}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}_{2}=\operatorname {Id} \,(V)+(G)}$. Daher ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1}),V({\mathfrak {a}}_{2})\subseteq V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}P\not \in V({\mathfrak {a}}_{1})}$ und ${\displaystyle {}Q\not \in V({\mathfrak {a}}_{2})}$ sind diese Inklusionen echt. Andererseits ist

${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}}_{1})\cup V({\mathfrak {a}}_{2})=V({\mathfrak {a}}_{1}\cdot {\mathfrak {a}}_{2})=V(\operatorname {Id} \,(V))=V\,,}$

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}V}$