(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${\displaystyle {}\sigma =\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}}$ mit gewissen ${\displaystyle {}\sigma _{i}\in H_{1}}$ oder ${\displaystyle {}\sigma _{i}\in H_{2}}$ schreiben kann.

Die Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ ist nach (1) klar. Die Inklusion ${\displaystyle {}\subseteq }$ ist wegen

${\displaystyle {}f\sigma =f\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}=f\sigma _{1}\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\,}$

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Seien dazu ${\displaystyle {}\sigma ,\sigma '\in G}$ gegeben mit ${\displaystyle {}\sigma '\sigma ^{-1}\in H}$. Dann ist

${\displaystyle {}f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.}$

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ und ${\displaystyle {}\tau \in H}$ ein ${\displaystyle {}\tau '\in H}$ mit ${\displaystyle {}\sigma \tau =\tau '\sigma }$. Für ${\displaystyle {}f\in R^{H}}$ ist

${\displaystyle {}(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,}$

und somit gehört ${\displaystyle {}f\sigma }$ ebenfalls zu ${\displaystyle {}R^{H}}$. Wir haben also eine Abbildung

${\displaystyle R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.}$

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

${\displaystyle {}f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.}$

Es liegt also eine Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf ${\displaystyle {}R^{H}}$ vor, und da die Elemente ${\displaystyle {}\sigma \in H}$ identisch wirken, induziert dies eine Operation von ${\displaystyle {}G/H}$ auf ${\displaystyle {}R^{H}}$. Bei den Abbildungen ${\displaystyle {}f\mapsto f\sigma }$ handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf ${\displaystyle {}R}$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ${\displaystyle {}\sigma ^{-1}}$ ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

${\displaystyle {}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.}$

Zum Beweis der Inklusion ${\displaystyle {}\subseteq }$ sei ${\displaystyle {}f\in R^{G}}$. Dann ist insbesondere ${\displaystyle {}f\in R^{H}}$. Wegen ${\displaystyle {}f[\sigma ]=f\sigma =f}$ ist ${\displaystyle {}f}$ auch ${\displaystyle {}G/H}$- invariant. Zum Beweis der Inklusion ${\displaystyle {}\supseteq }$ sei ${\displaystyle {}f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}}$. Doch dann ist für ${\displaystyle {}\sigma \in G}$ wiederum ${\displaystyle {}f\sigma =f[\sigma ]=f}$.