Wir behaupten

${\displaystyle {}M=[b^{-1},a^{-1}]\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}0\notin I}$ ist entweder ${\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}}$ oder ${\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{-}}$. Auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}}$ und auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{-}}$ ist die inverse Abbildung ${\displaystyle {}x\mapsto x^{-1}}$ streng fallend. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}M&={\left\{x\in K\mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in K\mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}}$