Sei ${\displaystyle {}f\in R}$ eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Nichteinheit von ${\displaystyle {}R}$. In ${\displaystyle {}R_{p}}$ gilt

${\displaystyle {}f={\frac {g_{1}}{p^{n_{1}}}}\cdots {\frac {g_{s}}{p^{n_{s}}}}\,}$

mit ${\displaystyle {}g_{i}}$, die in ${\displaystyle {}R_{p}}$ prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In ${\displaystyle {}R}$ gilt somit

${\displaystyle {}p^{n}f=g_{1}\cdots g_{s}\,.}$

Nach Fakt ist

${\displaystyle {}g_{i}=h_{i}p^{r_{i}}\,}$

mit Primelementen oder Einheiten ${\displaystyle {}h_{i}}$. Somit ist

${\displaystyle {}p^{n}f=p^{r+r_{1}+\cdots +r_{s}}h_{1}\cdots h_{s}\,.}$

Da ${\displaystyle {}p}$ kein Teiler der ${\displaystyle {}h_{i}}$ ist, kann man ${\displaystyle {}p^{n}}$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von ${\displaystyle {}f}$ in Primfaktoren.