Sei ${\displaystyle {}a\in R}$ eine Einheit. Dann gibt es ein ${\displaystyle {}b\in R}$ mit ${\displaystyle {}ab=1}$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

${\displaystyle {}R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.}$

Sei nun

${\displaystyle {}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,}$

(${\displaystyle a_{d}\neq 0}$) eine Einheit in ${\displaystyle {}R[X]}$. Dann gibt es ein Polynom

${\displaystyle {}Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,}$

(${\displaystyle b_{e}\neq 0}$) mit

${\displaystyle {}PQ=1\,.}$

Da ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich ist, ist ${\displaystyle {}a_{d}b_{e}\neq 0}$ und das Produkt hat die Gestalt

${\displaystyle a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.}$

Daher ist

${\displaystyle {}d+e=0\,}$

und

${\displaystyle {}a_{d}b_{e}=1\,,}$