Die Charakteristik sei ${\displaystyle {}n>0}$  und es sei angenommen, dass ${\displaystyle {}n}$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung ${\displaystyle {}n=ab}$ mit kleineren Zahlen ${\displaystyle {}0<a,b<n}$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist ${\displaystyle {}n_{R}=0}$ in ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}n}$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Fakt ist ${\displaystyle {}a_{R}b_{R}=n_{R}=0}$, so dass, weil ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von ${\displaystyle {}n}$.