Wir führen die Substitution ${\displaystyle {}x=\ln t}$ durch und müssen dann für

${\displaystyle {}g(t)={\frac {t^{3}}{t-t^{-1}}}\cdot {\frac {1}{t}}={\frac {t^{3}}{t^{2}-1}}\,}$

eine Stammfunktion finden (${\displaystyle t>1}$). Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}t^{3}=(t^{2}-1)t+t\,.}$

Die Partialbruchzerlegung für

${\displaystyle {\frac {t}{t^{2}-1}}}$

führt auf

${\displaystyle {}{\frac {t}{t^{2}-1}}={\frac {a}{t-1}}+{\frac {b}{t+1}}\,}$

und auf

${\displaystyle {}t=a(t+1)+b(t-1)=(a+b)t+a-b\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}a=b={\frac {1}{2}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}g(t)=t+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{t+1}}\,.}$

Eine Stammfunktion davon ist

${\displaystyle {\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\ln \left(t-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(t+1\right).}$

Rüchsubstitution ergibt für ${\displaystyle {}f(x)}$ die Stammfunktion

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{2x}+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}-1\right)+{\frac {1}{2}}\ln \left(e^{x}+1\right).}$