Induktionsanfang. Für ${\displaystyle {}n=1}$ kommt links nur der Summand zu ${\displaystyle {}k=1}$ vor, und dieser ist

${\displaystyle {}(-1)^{0}1^{2}=1\,.}$

Rechts steht ebenfalls

${\displaystyle (-1)^{2}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1.}$

Induktionsschluss. Die Aussage sei für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für ${\displaystyle {}n+1}$. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k^{2}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}+(-1)^{n+2}(n+1)(n+1)\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)}{2}}+{\frac {(-1)^{n+2}2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)+2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(-n+2n+2)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}n}$