Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist ${\displaystyle {}z\in \mathbb {C} }$.)

1. ${\displaystyle \cosh z+\sinh z=e^{z}.}$

2. ${\displaystyle \cosh z-\sinh z=e^{-z}.}$

3. ${\displaystyle (\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1.}$

4. ${\displaystyle \cosh {\mathrm {i} }z=\cos z{\text{ und }}\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z.}$