Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach dem Lemma stets irreduzibel. Sei also umgekehrt ${\displaystyle p}$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${\displaystyle p}$ das Produkt ${\displaystyle ab}$ teilt, sagen wir ${\displaystyle pc=ab}$. Nehmen wir an, dass ${\displaystyle a}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle p}$ ist. Dann sind aber ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle p}$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${\displaystyle (p)\subset (p,a)=(d)\subset R}$ der Irreduzibilität von ${\displaystyle p}$ widerspricht. Also gibt es Elemente ${\displaystyle r,s\in R}$ mit ${\displaystyle rp+sa=1}$. Damit ist

${\displaystyle b=b1=b(rp+sa)=brp+bsa=brp+spc=p(br+sc)}$

und der zweite Faktor ${\displaystyle b}$ ist ein Vielfaches von ${\displaystyle p}$.