Eine Menge ${\displaystyle {}G}$ mit einem ausgezeichneten Element ${\displaystyle {}e\in G}$ und mit einer Verknüpfung

${\displaystyle G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,}$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${\displaystyle {}f,g,h\in G}$ gilt

   ${\displaystyle {}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.}$

2. Das Element ${\displaystyle {}e}$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${\displaystyle {}g\in G}$ gilt

   ${\displaystyle {}g\circ e=g=e\circ g\,.}$

3. Zu jedem ${\displaystyle {}g\in G}$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${\displaystyle {}h\in G}$ mit

   ${\displaystyle {}h\circ g=g\circ h=e\,.}$