Wir wenden Fakt auf ${\displaystyle {}Q=G/\operatorname {kern} \varphi }$ und die kanonische Projektion ${\displaystyle {}q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi }$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H}$

mit ${\displaystyle {}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q}$, der surjektiv ist. Sei ${\displaystyle {}[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi }$ und ${\displaystyle {}[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,}$

also ${\displaystyle {}x\in \operatorname {kern} \varphi }$. Damit ist ${\displaystyle {}[x]=e_{Q}}$, d.h. der Kern von ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}}$ auch injektiv.