Es sei ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge,

${\displaystyle h\colon V\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetig differenzierbare Funktion und ${\displaystyle {}M\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n+1}}$ der zugehörige Graph, den wir als ${\displaystyle {}n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit auffassen, die zu ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,x_{n},h(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$ diffeomorph ist. Diese Mannigfaltigkeit ist zugleich die Faser über ${\displaystyle {}0}$ unter der Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n+1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\longmapsto h(x_{1},\ldots ,x_{n})-y.}$

Der Gradient dieser Abbildung ist

${\displaystyle \left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P),\,-1\right)}$

Nach Fakt liefert daher die Zuordnung

${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P)&v_{11}&\ldots &v_{n1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)&v_{1n}&\ldots &v_{nn}\\-1&v_{1n+1}&\ldots &v_{nn+1}\end{pmatrix}}}$

eine stetige nullstellenfreie ${\displaystyle {}n}$-Form ${\displaystyle {}\omega }$ auf ${\displaystyle {}M}$. Wenn man diese Form über die oben beschriebene (einzige) Karte nach ${\displaystyle {}V}$ zurückzieht, so ist ${\displaystyle {}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}$, wobei sich ${\displaystyle {}f(Q)}$ als Wert der Form ${\displaystyle {}\omega }$ im Punkt ${\displaystyle {}\alpha ^{-1}(Q)\in M}$ bezüglich der Vektoren ${\displaystyle {}T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{1}),\ldots ,T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{n})}$ ergibt. Wegen ${\displaystyle {}T_{Q}(\alpha ^{-1})(e_{i})=(e_{i},{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(Q))}$ ist dies

${\displaystyle {}f(Q)=\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&1&0&\ldots &0\\{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)&0&0&\ldots &1\\-1&{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)&{\frac {\partial h}{\partial x_{2}}}(Q)&\ldots &{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\end{pmatrix}}=\pm {\left({\left({\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(Q)\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(Q)\right)}^{2}+1\right)}\,,}$

wobei das Vorzeichen von ${\displaystyle {}n}$ abhängt.