Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&-1\\-1&x&-1\\-1&-1&x\end{pmatrix}}&=x(x^{2}-1)-x-1-1-x\\&=x^{3}-3x-2.\end{aligned}}}$

Dabei ist ${\displaystyle {}x=-1}$ eine Nullstelle, daher haben wir (Division mit Rest)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{3}-3x-2&=(x+1)(x^{2}-x-2)\\&=(x+1)(x+1)(x-2)\\&=(x+1)^{2}(x-2).\end{aligned}}}$

Somit ist ${\displaystyle {}-1}$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit ${\displaystyle {}2}$ und ${\displaystyle {}2}$ ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit ${\displaystyle {}1}$.

Der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\-1&-1&-1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}}}$ ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}.}$

Daher ist die geometrische Vielfachheit zu ${\displaystyle {}-1}$ ebenfalls ${\displaystyle {}2}$. Der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}}}$ ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {}2}$

${\displaystyle {}1}$