Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}x&-1&-1\\-1&x&0\\-1&0&x\end{pmatrix}}=x^{3}-x-x=x^{3}-2x=x(x^{2}-2)\,.}$

Somit sind ${\displaystyle {}0}$, ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle {}-{\sqrt {2}}}$ die Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${\displaystyle {}1}$. Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}0}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$, dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}.}$

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-1&-1\\-1&{\sqrt {2}}&0\\-1&0&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}$, dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}.}$

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}-{\sqrt {2}}}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {2}}&-1&-1\\-1&-{\sqrt {2}}&0\\-1&0&-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}$, dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}.}$