Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}}&=x^{3}-x\\&=x(x^{2}-1)\\&=x(x-1)(x+1).\end{aligned}}}$

Somit sind ${\displaystyle {}0,1,-1}$ Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${\displaystyle {}1}$.

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}0}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$. Dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}1}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$. Dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}.}$

Der Eigenraum zu ${\displaystyle {}-1}$ ist der Kern von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$. Dieser ist

${\displaystyle \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}.}$