Es sei

${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$

ein Potential zu ${\displaystyle {}G}$, also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich ${\displaystyle {}G}$ ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung

${\displaystyle f=h\circ \varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(\varphi (t)),}$

injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich

${\displaystyle {}f'(t)=(Dh)_{\varphi (t)}\circ (D\varphi )_{t}=(Dh)_{\varphi (t)}(\varphi '(t))\,.}$

Nach Fakt steht ${\displaystyle {}\varphi '(t)\neq 0}$ senkrecht auf dem Tangentialraum zu ${\displaystyle {}h}$ im Punkt ${\displaystyle {}\varphi (t)}$. Insbesondere gehört ${\displaystyle {}\varphi '(t)}$ nicht zum Tangentialraum (da das Skalarprodukt positiv definit ist), also nicht zum Kern von ${\displaystyle {}(Dh)_{\varphi (t)}}$. Daher ist

${\displaystyle {}f'(t)=(Dh)_{\varphi (t)}(\varphi '(t))\neq 0\,.}$

D.h. dass ${\displaystyle {}f'(t)}$ keine Nullstelle besitzt und daher ist ${\displaystyle {}f}$ nach Fakt