Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}x}$, indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&+6y&-3z&-2w&=&-1\\&+2y&-3z&+2w&=&3\\&\,\,\,\,-y&-5z&+4w&=&-2\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}w}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}II+I}$ und ${\displaystyle {}III-2II}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&+8y&-6z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-8\,.\end{matrix}}}$

Mit ${\displaystyle {}I+6II}$ ergibt sich

${\displaystyle {}-22y=-46\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {23}{11}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}z={\frac {27}{11}}\,,}$

${\displaystyle {}w={\frac {34}{11}}\,}$

und

${\displaystyle {}x=-{\frac {32}{11}}\,.}$