Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}w}$, indem wir die erste Gleichung von der vierten Gleichung abziehen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}x&+3y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\\3x&-5y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\3x&\,\,\,\,-y&-2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}z}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}2II+I}$ und ${\displaystyle {}III+2II}$ ausrechnen. Dies führt, nachdem wir die neue erste Gleichung durch sieben teilen, auf

${\displaystyle {\begin{matrix}x&\,\,\,\,-y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\9x&-11y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\,.\end{matrix}}}$

Mit ${\displaystyle {}-9I+II}$ ergibt sich

${\displaystyle {}-2y=-4\,}$

und

${\displaystyle {}y=2\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}x=3\,,}$

${\displaystyle {}z=3\,}$

und

${\displaystyle {}w=-{\frac {5}{3}}\,.}$