Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}z}$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und ${\displaystyle {}IV-5I}$ hinzunehmen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&9\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}w}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}II-I}$ und ${\displaystyle {}III+20I}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-4\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&149\,.\end{matrix}}}$

Mit ${\displaystyle {}13I-II}$ ergibt sich

${\displaystyle {}9y=-201\,}$

und

${\displaystyle {}y=-{\frac {67}{3}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}x=-2-2y={\frac {128}{3}}\,,}$

${\displaystyle {}w=7-2x-2y=-{\frac {101}{3}}\,}$

und

${\displaystyle {}z=-2-3x-4w={\frac {14}{3}}\,.}$