Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}y}$, indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&-5z&+4w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}x}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}2II+I}$ und ${\displaystyle {}3II+III}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&\,\,\,\,\,\,\,\,&-7z&+10w&=&5\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+7w&=&6\,.\end{matrix}}}$

Es ergibt sich

${\displaystyle {}7w=6\,}$

und

${\displaystyle {}w={\frac {6}{7}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}z={\frac {25}{49}}\,,}$

${\displaystyle {}x={\frac {3}{49}}\,}$

und

${\displaystyle {}y=-{\frac {38}{49}}\,.}$