Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}z}$, indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&1\\-3x&-4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-4w&=&-7\\3x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&3\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}x}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}II+III}$ und ${\displaystyle {}III-3I}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&-3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-2w&=&-4\\&-5y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-w&=&0\,.\end{matrix}}}$

Mit ${\displaystyle {}I-2II}$ ergibt sich

${\displaystyle {}7y=-4\,}$

und

${\displaystyle {}y=-{\frac {4}{7}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}x=-{\frac {5}{7}}\,,}$

${\displaystyle {}w={\frac {20}{7}}\,}$

und

${\displaystyle {}z={\frac {37}{7}}\,.}$