Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}w}$, indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren . Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}6x&+y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\x&+y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&0\\13x&+9y&-5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}y}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}-II+I}$ und ${\displaystyle {}-9II+III}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}5x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&1\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+4z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&7\,.\end{matrix}}}$

Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert

${\displaystyle {}8x=-17\,}$

und

${\displaystyle {}x=-{\frac {17}{8}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}z={\frac {31}{8}}\,,}$

${\displaystyle {}y=6\,}$

und

${\displaystyle {}w={\frac {9}{28}}\,.}$