Wir eliminieren zuerst die Variable ${\displaystyle {}x}$, indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&-24y&+23z&+2w&=&9\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${\displaystyle {}w}$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${\displaystyle {}-2III+I}$ und ${\displaystyle {}-2III+I}$ ausrechnen. Dies führt auf

${\displaystyle {\begin{matrix}&-30y&19z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\\&-5y&-3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}}$

Mit ${\displaystyle {}I-6II}$ ergibt sich

${\displaystyle {}37y=11\,}$

und

${\displaystyle {}y={\frac {11}{37}}\,.}$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${\displaystyle {}y={\frac {4}{185}}\,,}$

${\displaystyle {}w={\frac {248}{185}}\,}$

und

${\displaystyle {}x={\frac {886}{555}}\,.}$