${\displaystyle \vdash \forall x{\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}\rightarrow {\left(\forall y{\left(x=y\right)}\right)}{\frac {u}{x}}}$

eine Tautologie. Der Nachsatz ist ${\displaystyle {}\forall y{\left(u=y\right)}}$. Aus dem gleichen Grund ist

${\displaystyle \vdash \forall y{\left(u=y\right)}\rightarrow {\left(u=y\right)}{\frac {v}{y}}}$

eine Tautologie. Der Nachsatz ist ${\displaystyle {}u=v}$. Mit Modus Ponens gilt daher

${\displaystyle \Gamma \vdash \forall y{\left(u=y\right)}}$

und

${\displaystyle \Gamma \vdash u=v.}$

${\displaystyle {}\Delta \not \vdash u=v}$

${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle {}I\vDash \Delta }$

${\displaystyle {}I\not \vDash u=v}$

${\displaystyle {}M=\{a,b\}}$

${\displaystyle {}I(x)=I(y)=I(u)=a}$

${\displaystyle {}I(v)=b\,}$

festgelegt.