Für jedes ${\displaystyle {}x}$ und jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ gilt die Beziehung

${\displaystyle {}(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,}$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${\displaystyle {}x\neq 1}$)

${\displaystyle {}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}n\rightarrow \infty }$ und ${\displaystyle {}\vert {x}\vert <1}$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen ${\displaystyle {}{\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}}$.