Eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ. Wenn beide Zahlen positiv sind, so ergibt sich diese Aussage direkt aus Fakt. Wenn eine Zahl positiv und die andere negativ ist, so kann man (ohne Einschränkung) ${\displaystyle {}x=-z}$ mit ${\displaystyle {}z}$ positiv ansetzen. Es ist dann nach der Definition der Multiplikation

${\displaystyle {}x\cdot y=-(z\cdot y)\neq 0\,.}$

Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist ${\displaystyle {}x=-z}$ und ${\displaystyle {}y=-w}$ mit ${\displaystyle {}z,w}$ positiv. Dann ist wieder

${\displaystyle {}x\cdot y=z\cdot w\neq 0\,.}$