Zu einer Primidealkette ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$ aus ${\displaystyle {}S}$ ist die Kette ${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})}$ nach Fakt ebenfalls echt, so dass

${\displaystyle {}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,}$

ist. Zu einer Primidealkette ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$ aus ${\displaystyle {}R}$ gibt es zunächst nach Fakt ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}}$ aus ${\displaystyle {}S}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}}$. Nach Fakt kann man dies sukzessive zu einer Kette ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}}$ mit ${\displaystyle {}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}}$ fortsetzen. Daher ist auch

${\displaystyle {}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.}$