Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+3^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 3}.\end{aligned}}}$

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

${\displaystyle {}f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 3)e^{-x\ln 3}\,.}$

Die Bedingung ${\displaystyle {}f'(x)=0}$ führt durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}e^{x\ln 3}}$ auf

${\displaystyle {}0=(\ln 2)e^{x(\ln 2+\ln 3)}-\ln 3\,.}$

Daher muss

${\displaystyle {}e^{x\ln 6}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}\,}$

sein, woraus sich

${\displaystyle {}x\ln 6=\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}\,,}$

also

${\displaystyle {}x={\frac {\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}}{\ln 6}}\,}$

ergibt. Die zweite Ableitung ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2)^{2}e^{x\ln 2}+(\ln 3)^{2}e^{-x\ln 3}\\\end{aligned}}}$