Sei ${\displaystyle {}x\in M}$. Bei ${\displaystyle {}f(x)\geq 0}$ ist ${\displaystyle {}f_{+}(x)=f(x)}$ und ${\displaystyle {}f_{-}(x)=0}$, somit ist

${\displaystyle {}\vert {f(x)}\vert =f(x)=f_{+}(x)=f_{+}(x)+f_{-}(x)\,.}$

Bei ${\displaystyle {}f(x)<0}$ ist hingegen ${\displaystyle {}f_{+}(x)=0}$ und ${\displaystyle {}f_{-}(x)=-f(x)}$, und somit ist

${\displaystyle {}\vert {f(x)}\vert =-f(x)=f_{-}(x)=f_{+}(x)+f_{-}(x)\,.}$