${\displaystyle {}x_{n}=n^{2}+n\,}$

und

${\displaystyle {}y_{n}=n^{2}\,}$

für ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.}$

Dies konvergiert gegen ${\displaystyle {}1}$. Die Differenzfolge

${\displaystyle {}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,}$

konvergiert nicht.

${\displaystyle {}x_{n}={\frac {1}{n}}\,}$

und

${\displaystyle {}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.}$

Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

${\displaystyle {}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,}$

konvergiert gegen ${\displaystyle {}0}$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

${\displaystyle {}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}z_{n}}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}}$

Dabei ist

${\displaystyle {}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,}$

eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${\displaystyle {}1}$.