Sei ${\displaystyle m>n}$. Es ist unter Nutzung der geometrischen Summenformel

${\displaystyle F_{m}-2=2^{2^{m}}-1=(2^{2^{n}})^{2^{m-n}}-1=-(2^{2^{n}}+1)\sum \limits _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^{n}})^{k}=-F_{n}\cdot \sum \limits _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^{n}})^{k}}$.

Sei ${\displaystyle d}$ ein gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle F_{m}}$ und ${\displaystyle F_{n}}$. Mit der gezeigten Formel folgt wegen ${\displaystyle d\mid F_{n}}$ auch ${\displaystyle d\mid F_{m}-2}$. Es folgt ${\displaystyle d\mid F_{m}-(F_{m}-2)=2}$. Da jede Fermatzahl ungerade ist, muss ${\displaystyle d}$ ungerade sein, also letztlich ${\displaystyle d=1}$.