Sei ${\displaystyle {}m>n}$. Dann ist

${\displaystyle {}F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.}$

Hierbei ist ${\displaystyle {}2^{m-n}}$ gerade, und daher ist ${\displaystyle {}F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von ${\displaystyle {}F_{m}}$ und von ${\displaystyle {}F_{n}}$ auch ein Teiler von ${\displaystyle {}F_{m}-2}$ ist, also ein Teiler von ${\displaystyle {}2}$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur ${\displaystyle {}1}$ als gemeinsamer Teiler übrig.