F2/Invertierbare Matrizen/2/Selbstinvers/Aufgabe/Lösung

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Die matrizeneinträge sind ${}0$ oder ${}1$ . Wenn die ${}1$ kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die ${}1$ zweimal vorkommt, so darf die ${}1$ nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Wenn dreimal die ${}1$ vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen

${\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.
Die Einheitsmatrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und die Vertauschungsmatrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ sind selbstinvers. Wir rechnen
${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

Somit sind auch ${}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ selbstinvers.

Zur gelösten Aufgabe

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