Es sei

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\subseteq R_{15}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}Y=X+X^{-1}}$ ist.

1. Zeige, dass das Element

   ${\displaystyle {}Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}$

   zu ${\displaystyle {}S}$ gehört.

2. Schreibe ${\displaystyle {}Z}$ als polynomialen Ausdruck in ${\displaystyle {}Y}$.
3. Beschreibe ${\displaystyle {}S}$ als quadratische Erweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [Z]}$.