Es sei ${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [2\zeta ]\subseteq R_{5}}$ der durch ${\displaystyle {}2\zeta }$ erzeugte Unterring des fünften Kreisteilungsringes, wobei ${\displaystyle {}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}}$ die erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

1. Bestimme eine Gleichung für ${\displaystyle {}S}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf ${\displaystyle {}S}$ induziert.
3. Bestimme ${\displaystyle {}S\cap \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]}$.