Die Galoisgruppe des fünften Kreisteilungskörpers ${\displaystyle {}K}$ ist isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$. Als Graduierung kommen nur die beiden Gruppen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ in Frage. Im zweiten Fall würde aber die Automorphismengruppe nach Fakt eine Untergruppe der Form ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$ enthalten, was ausgeschlossen ist. Die einzig verbleibende Möglichkeit wäre also ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$ als graduierende Gruppe, und dann wäre

${\displaystyle {}K\cong \mathbb {Q} [U]/{\left(U^{4}-c\right)}\,}$

mit einem ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Q} }$. Der erzeugende Automorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$ schickt ${\displaystyle {}U}$ auf ein ${\displaystyle {}\varphi (U)}$, das ebenfalls

${\displaystyle {}{\left(\varphi (U)\right)}^{4}=c\,}$

erfüllt. Somit ist

${\displaystyle {}{\left({\frac {U}{\varphi (U)}}\right)}^{4}=1\,.}$

Dabei ist

${\displaystyle {}{\frac {U}{\varphi (U)}}=-1\,}$

ausgeschlossen, da andernfalls

${\displaystyle {}\varphi (U)=-U\,}$

wäre und der Homomorphismus die Ordnung ${\displaystyle {}2}$ hätte. Also ist

${\displaystyle {}{\frac {U}{\varphi (U)}}=\pm {\mathrm {i} }\,.}$