a) Die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \Gamma ,\,x\longmapsto (x,g(x)),}$

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

${\displaystyle {}g=y\circ \varphi \,.}$

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von ${\displaystyle {}y}$ und von ${\displaystyle {}y\circ \varphi }$ ineinander.

b) Den Graphen ${\displaystyle {}\Gamma }$ kann man als Faser zur Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-g(x),}$

über ${\displaystyle {}0}$ auffassen. Wenn die Linearform

${\displaystyle {}h(x,y)=y\,}$

auf dieser Faser in einem Punkt ${\displaystyle {}P=(a,g(a))}$ ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}=(-g'(a),1)}$ und ${\displaystyle {}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)}$ linear abhängig sind. Dies ist genau bei

${\displaystyle {}g'(a)=0\,}$

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass ${\displaystyle {}g}$ in ${\displaystyle {}a}$ ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

${\displaystyle {}f(x,y)=y-x^{3}\,}$

und

${\displaystyle {}h(x,y)=y\,}$

(wir arbeiten also mit ${\displaystyle {}g(x)=x^{3}}$ und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann ${\displaystyle {}\left(Df\right)_{P}=(-3x^{2},1)}$ und ${\displaystyle {}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)}$. Im Punkt ${\displaystyle {}P=(0,0)}$ liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion ${\displaystyle {}y}$ hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu ${\displaystyle {}x^{3}}$)

kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion ${\displaystyle {}x^{3}}$ kein lokales Extremum besitzt.