Die erste Ableitung ist

${\displaystyle f^{\prime }(t)={\left(2t-t^{2}\right)}e^{-t}=t{\left(2-t\right)}e^{-t},}$

deren Nullstellen sind ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}2}$. Die zweite Ableitung ist

${\displaystyle f^{\prime \prime }(t)={\left(t^{2}-4t+2\right)}e^{-t},}$

so dass ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(0)>0}$ und ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(2)<0}$ ist. Daher liegt in ${\displaystyle {}0}$ ein

(isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert ${\displaystyle {}f(0)=0}$ und in ${\displaystyle {}2}$ ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert ${\displaystyle {}4\cdot e^{-2}}$ vor. Da für ${\displaystyle {}t\neq 0}$ sowohl ${\displaystyle {}t^{2}}$ als auch ${\displaystyle {}e^{-t}}$ positiv sind, liegt in ${\displaystyle {}0}$ auch das globale Minimum vor. Für ${\displaystyle {}t\rightarrow -\infty }$ wächst die Funktion hingegen gegen ${\displaystyle {}+\infty }$, sodass in ${\displaystyle {}2}$ kein globales Maximum vorliegt.