Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe

Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$ . Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit
${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ , die keine Exponentialfunktion ist.

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