Nehmen wir an, es gelte

${\displaystyle {}e^{x}={\frac {P}{Q}}\,}$

mit Polynomen ${\displaystyle {}P,Q\in \mathbb {R} [X]}$, ${\displaystyle {}Q\neq 0}$. Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion. Es muss also

${\displaystyle {}{\left({\frac {P}{Q}}\right)}'={\frac {P'Q-PQ'}{Q^{2}}}={\frac {P}{Q}}\,}$

gelten. Damit ist auch

${\displaystyle {}P'Q-PQ'=PQ\,}$

Es sei ${\displaystyle {}d=\operatorname {grad} \,(P)}$ (${\displaystyle {}P=0}$ ist nicht möglich)

und ${\displaystyle {}e=\operatorname {grad} \,(Q)}$. Beim Ableiten reduziert sich der Grad eines Polynoms um ${\displaystyle {}1}$. Der Grad rechts ist somit ${\displaystyle {}d+e}$ und links ${\displaystyle {}\leq d+e-1}$, es liegt also ein Widerspruch vor.