Wir betrachten die Hintereinanderschaltung der Expnentialfunktion (zur Basis ${\displaystyle {}e}$) mit sich selbst, also

${\displaystyle {}f(x)=e^{(e^{x})}\,,}$

und behaupten, dass dies keine Exponentialfunktion ist, also nicht von der Form ${\displaystyle {}b^{x}}$ mit einer Basis ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} _{+}}$ ist. Falls doch, so wäre

${\displaystyle {}e^{(e^{x})}=b^{x}=e^{x\ln b}\,}$

für alle ${\displaystyle {}x}$. Wegen der Injektivität der Exponentialfunktion bedeutet dies

${\displaystyle {}e^{x}=x\ln b\,.}$